24考研数二线代部分强化、冲刺阶段重要结论合集（存档）
数学基础系列文章：
参考讲义：
- 李永乐复习全书（线代部分）
- 880
1 行列式计算方法
1.1 加边法
展开定理推论——外围加一圈
1.2 爪型通法
后几列逐渐消去第一列第2行~第n行，a_{11}项变成一个和式，行列式变成上/下三角
1.3 解行列式递推式
D_n+αD_{n-1}+βD_{n-2}=0 —— 二阶差分方程（仅供参考）：
（1）改写递推式为D_{n+2}+αD_{n+1}+βD_{n}=0，将其视作微分方程y''+αy'+βy=0来解
（2）微调通解公式：用r^n替换e^{rx}。其他完全一致
1.4 特征方程行列式转圈化简
（1）顺/逆时针选择没有\lambda的数
（2）化简其他没有\lambda的数
（3）要求产生\lambda的公因子
2 矩阵·特征值·特征向量重要结论
2.1 AB=O性质
AB=O \Rightarrow
（1）r(A)+r(B)≤n
（2）B的列向量均为齐次方程Ax=0的解
（3）若A为n阶方阵，则B的非零列向量为A的特征值的特征向量
2.2 求矩阵高次幂
2.2.1 秩为1
因为r(A)=1 \Leftrightarrow A=\alpha \beta^T，其中\alpha为A的极大无关组，β^T由其系数构成
故A^n= \alpha (\beta^T \alpha) (\beta^T ... \alpha) \beta^T=(\beta^T \alpha)^{n-1}\alpha \beta^T
即A^n=tr(A)^{n-1}A
2.2.2 分解+二项式定理
对于3阶矩阵B=\begin{bmatrix}0 &0 &0 \\ a & 0 & 0\\ c & b & 0\end{bmatrix}，俩数“往角落走”，B^2=\begin{bmatrix}0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0\\ ab & 0 & 0\end{bmatrix}，B^3=O，称这种矩阵为幂0矩阵。
故可将该三角矩阵A分解为单位矩阵和幂0矩阵之和： A=E+B。接着使用二项式定理展开可得A^n=(E+B)^n=E^n+C_n^1E^{n-1}B+C_n^2E^{n-2}B^2。
同理对4阶矩阵C=\begin{bmatrix}0 & a & d & f\\ 0 & 0 & b &e \\ 0 & 0 & 0 &c \\ 0 &0 & 0 &0 \end{bmatrix}，两两“一步步往角落走”，C^2=\begin{bmatrix}0 & 0 & ab & ab^2c\\ 0 & 0 & 0 &bc \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 &0 & 0 &0 \end{bmatrix}，C^3=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & abc\\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 &0 & 0 &0 \end{bmatrix}，C^4=O。之后同3阶情况展开。
2.2.3 分块
利用分块矩阵乘法
2.2.4 相似/相似对角化
直接求特征值，拼成\Lambda：
由P^{-1}AP=\Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)，得 A=P\Lambda P^{-1}
故A^n=P\Lambda P^{-1}...P\Lambda P^{-1}=P\Lambda^n P^{-1}=P\text{diag}(\lambda_1^n,\lambda_2^n,...,\lambda_n^n) P^{-1}
2.3 矩阵可交换
方阵AB=E或BA=E \Leftrightarrow
（1）A可逆
（2）A可用于求逆B=A^{-1}
（3）A,B可交换
A,B可交换的充分条件：
（1）B=f(A)，其中f(A)可推广为E,A^{-1},A^*
（2）乘积为线性组合（系数非0）AB=aA+bB\ (ab≠0)
（3）二次方程A^2+aAB=E\ (a≠0)
2.4 广义初等变换与初等矩阵
（对比狭义上的初等变换与初等矩阵定义）
2.4.1 广义初等变换
（1）两行 / 列互换
（2）一行左乘矩阵加到另一行 / 一列右乘矩阵加到另一列
（3）一行左乘可逆矩阵 / 一列右乘可逆矩阵
2.4.2 广义初等矩阵
定义：对分块矩阵\begin{bmatrix} E & O \\ O& E \\ \end{bmatrix}作广义初等变换得到的矩阵。
性质：
（1）广义初等行/列变换相当于左/右乘相应的广义初等矩阵
（2）广义初等矩阵均可逆，故做广义初等变换仍有秩不变
（3）由于行、列变换时矩阵乘法方向不同，故无法同狭义变换一样无条件消元
2.5 行/列满秩矩阵
2.5.1 行满秩
r(A_{m×n})=m
（1）右乘可消去：BA=CA \Rightarrow B=C
（2）右乘秩不变：r(BA)=r(B)
（3）A的行向量组无关
（4）非齐次Ax=b有解
2.5.2 列满秩
r(A_{m×n})=n
（1）左乘可消去：AB=AC \Rightarrow B=C
（2）左乘秩不变：r(AB)=r(B)
（3）A的列向量组无关
（4）齐次Ax=0只有零解
（5）齐次ABx=0与Bx=0同解
2.6 矩阵方程解法总结
AX=B，X为未知矩阵
2.6.1 逆
应已知A可逆，则X=A^{-1}B
通常法：先求A^{-1}
快法：一起做变换——(A|B) \rightarrow (E|A^{-1}B)
2.6.2 待定系数（2阶）
令X = (x1,x2,x3,x4)^T，将矩阵方程转化为非齐次方程组
2.6.3 分块矩阵
令B=(β_1,β_2,...,β_n)，则Ax=β_i,\ i=1,2,...,n
将(A|B)化为行最简形即得
推广：XA=B \Rightarrow A^TX^T=B^T
解不唯一时，自由变量（左块自由列每行）分别取 k_1,k_2,...,k_n
2.7 各行/列元素之和为…
（1）A的各行元素之和为\lambda \Leftrightarrow A(1,1,...,1)^T=\lambda (1,1,...,1)^T \Leftrightarrow (1,1,...,1)^T为A的特征值\lambda的特征向量
（2）A的各列元素之和为\lambda \Leftrightarrow A^T的各行元素之和为\lambda \Leftrightarrow (1,1,...,1)^T A=\lambda (1,1,...,1)^T
2.8 秩为1性质
r(A)=1，即A=\alpha \beta^T，其中\alpha为A的极大无关组，\beta由其组合系数构成
（1）高次幂：A^n=tr(A)^{n-1}A
（2）特征值：\lambda _1=tr(A),\lambda_2=...=\lambda_n=0
（3）特征向量：
1° tr(A)≠0：
\lambda _1=tr(A),\alpha_1=\alpha（极大无关组）
\lambda_2=...=\lambda_n=0，解(A-0E)x=0即\beta^T x=0，得无关特向\alpha_2,...,\alpha_n
2° tr(A)=0：
\lambda_1=...=\lambda_n=0，解(A-0E)x=0即\beta^T x=0，得无关特向\alpha_1,...,\alpha_n
（4）A可相似对角化\Leftrightarrow tr(A)≠0
灵活将秩非1矩阵分解为秩为1矩阵！
2.9 实对称矩阵基本求法
求正交矩阵Q：
（1）求A的n个特征值\lambda_1,...,\lambda_n，组成对角矩阵\Lambda
（2）求A的n个无关特向\alpha_1,...,\alpha_n，组成可逆矩阵P
（3）将不同特征值的特向分别Schmidt正交化、单位化得\gamma_1,...,\gamma_n，组成正交矩阵Q
求实对称矩阵A：
（1）已知可逆矩阵P：P^{-1}AP=\Lambda \Rightarrow A=P\Lambda P^{-1}
（2）已知正交矩阵Q：Q^TAQ=\Lambda \Rightarrow A=Q\Lambda Q^T
（3）分解定理：A=Q\Lambda Q^T=\lambda_1\gamma_1\gamma_1^T+...+\lambda_n\gamma_n\gamma_n^T
适用于秩为一的矩阵：
r(A)=1，A=tr(A)\gamma_1\gamma_1^T
证明两个同阶实对称矩阵A,B间关系的充要条件：
（1）等价：A\cong B \Leftrightarrow r(A)=r(B)
（2）相似：A\sim B \Leftrightarrow \lambda_A=\lambda_B
（3）合同：A\simeq B \Leftrightarrow A,B的正负惯性指数相同
3 向量概念题技巧
（1）任何向量都可由包含这个向量的向量组表示。故 “xx可由yyyy线表” 可任意在"xx"中添加"yyyy"中的向量
（2）矩阵与向量相互转化：矩阵按列分块，得到向量；向量组合，得到矩阵
（3）记A=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s),B=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t)，若A的列向量可由B的列向量表示，则\exist P,A=BP
“
A的列向量” 等价于 “A^T的行向量”
3.1 证明线性无关
3.1.1 定义法
（1）设k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s=0
（2）根据题设乘或重组，尽量使式子变简单。若不可避免地变复杂了，则对式子进行恒等修缮之后，各个式子相加减，消去重复项，使得式子变简单。
（3）目标：证明k_1=0,k_2=0,...,k_s=0
3.1.2 秩
将向量组转化为齐次方程组的系数矩阵，考察它的秩。
3.1.3 反证法
假设向量组相关，反推出与题设矛盾
3.1.4 正交
非零向量正交必无关
3.2 二级结论：右乘表示系数阵C（B=AC）
设3维向量组\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性无关，向量组\beta_1,\beta_2,\beta_3可由\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示，即(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)C，其中矩阵C由表示系数构成。
则有： 向量组\beta_1,\beta_2,\beta_3线性相关\Leftrightarrow |C|≠0
3.3 证明线性表示
（1）构造方程组，证明方程组有解：r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)=r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta)
（2）找出两个条件 —— 无关组 + 1 变相关，则 + 1 的可被无关组表。\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s无关，\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta相关
（3）证 $k≠0$（证明能表出）
（4）反证法 （证明不能表出）
3.4 证明向量组表示、等价等性质
同时解所有方程组，例：(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\ | \ \beta_1,\beta_2,\beta_3)
二级结论：
- 多被少表，多必相关
- 无关被表，个数不多
4 线性方程组
4.1 方程组同解结论
（基础结论略）
核心：画图！转化成向量组等价思考！
设A=(\alpha_1^T,\alpha_2^T,...,\alpha_m^T)^T,\ B=(\beta_1^T,\beta_2^T,...,\beta_m^T)^T（都用行组表示），两方程组Ax=0,\ Bx=0，则：
A的行组可由B的行组线表
\Leftrightarrow Bx=0的基础解系可由Ax=0的基础解系线表
\Leftrightarrow Bx=0的解全是Ax=0的解
\Leftrightarrow r(B)=r(\begin{matrix} A\\B\end{matrix})
\Leftrightarrow \exist\ C,\ CB=A
\Rightarrow r(A)≤r(B)
若r(A)=r(B)且 其中一个的解均是另一个的解，则两方程组同解。
推论：
（1）A^TAx=0与Ax=0同解，即左乘转置同解
（2）若Ax=0的解均是Bx=0的解，则Ax=0与(\begin{matrix} A\\B\end{matrix})x=0同解
（3）左乘列满秩同解
5 二次型
5.1 二次型的求法
5.1.1 选填题
根据形如f=(x_1+ax_2)^2+(bx_2+x_3)^2+(cx_1+x_3)^2的二次型写出对应的矩阵A
（1）通法：直接展开！
（2）快法：按线性变换的形式写出矩阵B（不一定可逆），则有A=B^{\text{T}}B。例如根据上述f的矩阵可得B=\begin{bmatrix} 1 &a &0 \\ 0 & b & 1\\ c & 0 & 1 \end{bmatrix}，进一步可得A。
5.1.2 解答题
5.1.2.1 拉格朗日配方法
B\simeq A
（1）配方：先x_1配干净，再x_2配干净，以此类推。
（2）令y1,y2,y3=...。反写x_1,x_2,x_3=...，即X=CY，其中必有|C|=1≠0。
经过可逆线性变换X=CY，二次型化为标准型（系数非特征值），变换前后矩阵合同。
5.1.2.2 正交变换法
B \simeq A且B \sim A
（1）求A的特征值
（2）求A的无关特向
（3）正交化、单位化（步骤与正交相似对角化一模一样）
经过正交变换X=QY，二次型化为标准型（系数为特征值），变换前后矩阵相似
注：实对称矩阵必然能正交相似对角化，故两个特征值相同的实对称矩阵可以互相正交相似对角化！进一步，两个二次型可以通过正交变换相互转化！
5.1.2.3 合同变换法
超纲
注：所有的变换均为形如
X=□Y的形式，故必要时需多一步反解操作
5.2 合同的判定
- 惯性相同：对比正、负惯性指数，即正、负特征值个数
- 实对称矩阵只能与实对称矩阵合同
5.3 二次型最值
方法：规范形放缩
（1）由正交变换x=Qy，得f=x^\text{T}Ax=y^\text{T}(Q^\text{T}AQ)y=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2，其中特征值大小关系\lambda_1≤\lambda_2≤\lambda_3
（2）放缩可得\lambda_1y_1^2+\lambda_1y_2^2+\lambda_1y_3^2≤\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2≤\lambda_3y_1^2+\lambda_3y_2^2+\lambda_3y_3^2，即\lambda_1y^\text{T}y≤x^\text{T}Ax≤\lambda_3y^\text{T}y
（3）由x^\text{T}x=(Qy)^\text{T}(Qy)=y^\text{T}(Q^\text{T}Q)y=y^\text{T}y，故\lambda_1x^\text{T}x≤x^\text{T}Ax≤\lambda_3x^\text{T}x，之后处理x^\text{T}x即可（“不妨令……”）
可逆线性变换所得的规范形或标准形同理
5.4 拓展：满秩方阵 AAT 性质总结
r(A_{m×n})=m,\ AA^T为m×m方阵
\Leftrightarrow |AA^T|≠0
\Leftrightarrow AA^T 可逆
\Leftrightarrow r(AA^T)=r(A)=m
\Leftrightarrow AA^T \cong E_{m×m}
\Leftrightarrow AA^T 行/列向量无关
\Leftrightarrow 齐次AA^Tx=0只有零解
\Leftrightarrow 非齐次 AA^Tx=b有唯一解
\Leftrightarrow AA^T特征值均不为0
\Rightarrow AA^T 可相似对角化
\Rightarrow AA^T为实对称矩阵
\Leftrightarrow AA^T \simeq E
\Leftrightarrow AA^T 正定