24考研数二线代部分强化、冲刺阶段重要结论合集（存档）

重要资料：线代基础思维导图2.0.pdf

数学基础系列文章：

• 高等数学（数二强化冲刺笔记）
• 线性代数（数二强化冲刺笔记）
• 概率论与数理统计

参考讲义：

• 李永乐复习全书（线代部分）
• 880

1 行列式计算方法

1.1 加边法

展开定理推论——外围加一圈

1.2 爪型通法

后几列逐渐消去第一列第2行~第$n$行，$a_{11}$项变成一个和式，行列式变成上/下三角

1.3 解行列式递推式

$D_n+αD_{n-1}+βD_{n-2}=0$ —— 二阶差分方程（仅供参考）：

（1）改写递推式为$D_{n+2}+αD_{n+1}+βD_{n}=0$，将其视作微分方程$y''+αy'+βy=0$来解

（2）微调通解公式：用$r^n$替换$e^{rx}$。其他完全一致

1.4 特征方程行列式转圈化简

（1）顺/逆时针选择没有$\lambda$的数

（2）化简其他没有$\lambda$的数

（3）要求产生$\lambda$的公因子

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2 矩阵·特征值·特征向量重要结论

2.1 AB=O性质

$AB=O \Rightarrow$

（1）$r(A)+r(B)≤n$

（2）$B$的列向量均为齐次方程$Ax=0$的解

（3）若$A$为$n$阶方阵，则$B$的非零列向量为$A$的特征值的特征向量

2.2 求矩阵高次幂

2.2.1 秩为1

因为$r(A)=1 \Leftrightarrow A=\alpha \beta^T$，其中$\alpha$为$A$的极大无关组，$β^T$由其系数构成

故$A^n= \alpha (\beta^T \alpha) (\beta^T ... \alpha) \beta^T=(\beta^T \alpha)^{n-1}\alpha \beta^T$

即$A^n=tr(A)^{n-1}A$

2.2.2 分解+二项式定理

对于3阶矩阵$B=\begin{bmatrix}0 &0 &0 \\ a & 0 & 0\\ c & b & 0\end{bmatrix}$，俩数“往角落走”，$B^2=\begin{bmatrix}0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0\\ ab & 0 & 0\end{bmatrix}$，$B^3=O$，称这种矩阵为幂0矩阵。

故可将该三角矩阵$A$分解为单位矩阵和幂0矩阵之和： $A=E+B$。接着使用二项式定理展开可得$A^n=(E+B)^n=E^n+C_n^1E^{n-1}B+C_n^2E^{n-2}B^2$。

同理对4阶矩阵$C=\begin{bmatrix}0 & a & d & f\\ 0 & 0 & b &e \\ 0 & 0 & 0 &c \\ 0 &0 & 0 &0 \end{bmatrix}$，两两“一步步往角落走”，$C^2=\begin{bmatrix}0 & 0 & ab & ab^2c\\ 0 & 0 & 0 &bc \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 &0 & 0 &0 \end{bmatrix}$，$C^3=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & abc\\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 &0 & 0 &0 \end{bmatrix}$，$C^4=O$。之后同3阶情况展开。

2.2.3 分块

利用分块矩阵乘法

2.2.4 相似/相似对角化

直接求特征值，拼成$\Lambda$：

由$P^{-1}AP=\Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$，得 $A=P\Lambda P^{-1}$

故$A^n=P\Lambda P^{-1}...P\Lambda P^{-1}=P\Lambda^n P^{-1}=P\text{diag}(\lambda_1^n,\lambda_2^n,...,\lambda_n^n) P^{-1}$

2.3 矩阵可交换

方阵$AB=E$或$BA=E \Leftrightarrow$
（1）$A$可逆
（2）$A$可用于求逆$B=A^{-1}$
（3）$A,B$可交换

$A,B$可交换的充分条件：
（1）$B=f(A)$，其中$f(A)$可推广为$E,A^{-1},A^*$
（2）乘积为线性组合（系数非0）$AB=aA+bB\ (ab≠0)$
（3）二次方程$A^2+aAB=E\ (a≠0)$

2.4 广义初等变换与初等矩阵

（对比狭义上的初等变换与初等矩阵定义）

2.4.1 广义初等变换

（1）两行 / 列互换

（2）一行左乘矩阵加到另一行 / 一列右乘矩阵加到另一列

（3）一行左乘可逆矩阵 / 一列右乘可逆矩阵

2.4.2 广义初等矩阵

定义：对分块矩阵$\begin{bmatrix} E & O \\ O& E \\ \end{bmatrix}$作广义初等变换得到的矩阵。

性质：

（1）广义初等行/列变换相当于左/右乘相应的广义初等矩阵

（2）广义初等矩阵均可逆，故做广义初等变换仍有秩不变

（3）由于行、列变换时矩阵乘法方向不同，故无法同狭义变换一样无条件消元

2.5 行/列满秩矩阵

2.5.1 行满秩

$r(A_{m×n})=m$

（1）右乘可消去：$BA=CA \Rightarrow B=C$

（2）右乘秩不变：$r(BA)=r(B)$

（3）$A$的行向量组无关

（4）非齐次$Ax=b$有解

2.5.2 列满秩

$r(A_{m×n})=n$

（1）左乘可消去：$AB=AC \Rightarrow B=C$

（2）左乘秩不变：$r(AB)=r(B)$

（3）$A$的列向量组无关

（4）齐次$Ax=0$只有零解

（5）齐次$ABx=0$与$Bx=0$同解

2.6 矩阵方程解法总结

$AX=B$，$X$为未知矩阵

2.6.1 逆

应已知$A$可逆，则$X=A^{-1}B$

通常法：先求$A^{-1}$

快法：一起做变换——$(A|B) \rightarrow (E|A^{-1}B)$

2.6.2 待定系数（2阶）

令$X = (x1,x2,x3,x4)^T$，将矩阵方程转化为非齐次方程组

2.6.3 分块矩阵

令$B=(β_1,β_2,...,β_n)$，则$Ax=β_i,\ i=1,2,...,n$

将$(A|B)$化为行最简形即得

推广：$XA=B \Rightarrow A^TX^T=B^T$

解不唯一时，自由变量（左块自由列每行）分别取 $k_1,k_2,...,k_n$

2.7 各行/列元素之和为…

（1）$A$的各行元素之和为$\lambda \Leftrightarrow A(1,1,...,1)^T=\lambda (1,1,...,1)^T \Leftrightarrow (1,1,...,1)^T$为$A$的特征值$\lambda$的特征向量

（2）$A$的各列元素之和为$\lambda \Leftrightarrow A^T$的各行元素之和为$\lambda \Leftrightarrow (1,1,...,1)^T A=\lambda (1,1,...,1)^T$

2.8 秩为1性质

$r(A)=1$，即$A=\alpha \beta^T$，其中$\alpha$为$A$的极大无关组，$\beta$由其组合系数构成

（1）高次幂：$A^n=tr(A)^{n-1}A$

（2）特征值：$\lambda _1=tr(A),\lambda_2=...=\lambda_n=0$

（3）特征向量：
1° $tr(A)≠0$：
$\lambda _1=tr(A),\alpha_1=\alpha$（极大无关组）
$\lambda_2=...=\lambda_n=0$，解$(A-0E)x=0$即$\beta^T x=0$，得无关特向$\alpha_2,...,\alpha_n$
2° $tr(A)=0$：
$\lambda_1=...=\lambda_n=0$，解$(A-0E)x=0$即$\beta^T x=0$，得无关特向$\alpha_1,...,\alpha_n$

（4）$A$可相似对角化$\Leftrightarrow tr(A)≠0$

灵活将秩非1矩阵分解为秩为1矩阵！

2.9 实对称矩阵基本求法

求正交矩阵$Q$：
（1）求$A$的$n$个特征值$\lambda_1,...,\lambda_n$，组成对角矩阵$\Lambda$
（2）求$A$的$n$个无关特向$\alpha_1,...,\alpha_n$，组成可逆矩阵$P$
（3）将不同特征值的特向分别Schmidt正交化、单位化得$\gamma_1,...,\gamma_n$，组成正交矩阵$Q$

求实对称矩阵$A$：
（1）已知可逆矩阵$P$：$P^{-1}AP=\Lambda \Rightarrow A=P\Lambda P^{-1}$
（2）已知正交矩阵$Q$：$Q^TAQ=\Lambda \Rightarrow A=Q\Lambda Q^T$
（3）分解定理：$A=Q\Lambda Q^T=\lambda_1\gamma_1\gamma_1^T+...+\lambda_n\gamma_n\gamma_n^T$

适用于秩为一的矩阵：$r(A)=1$，$A=tr(A)\gamma_1\gamma_1^T$

证明两个同阶实对称矩阵$A,B$间关系的充要条件：
（1）等价：$A\cong B \Leftrightarrow r(A)=r(B)$
（2）相似：$A\sim B \Leftrightarrow \lambda_A=\lambda_B$
（3）合同：$A\simeq B \Leftrightarrow A,B$的正负惯性指数相同

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3 向量概念题技巧

（1）任何向量都可由包含这个向量的向量组表示。故 “xx可由yyyy线表” 可任意在"xx"中添加"yyyy"中的向量

（2）矩阵与向量相互转化：矩阵按列分块，得到向量；向量组合，得到矩阵

（3）记$A=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s),B=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t)$，若$A$的列向量可由$B$的列向量表示，则$\exist P,A=BP$

“$A$的列向量” 等价于 “$A^T$的行向量”

3.1 证明线性无关

3.1.1 定义法

（1）设$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_s\alpha_s=0$

（2）根据题设乘或重组，尽量使式子变简单。若不可避免地变复杂了，则对式子进行恒等修缮之后，各个式子相加减，消去重复项，使得式子变简单。

（3）目标：证明$k_1=0,k_2=0,...,k_s=0$

3.1.2 秩

将向量组转化为齐次方程组的系数矩阵，考察它的秩。

3.1.3 反证法

假设向量组相关，反推出与题设矛盾

3.1.4 正交

非零向量正交必无关

3.2 二级结论：右乘表示系数阵C（B=AC）

设3维向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，向量组$\beta_1,\beta_2,\beta_3$可由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示，即$(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)C$，其中矩阵$C$由表示系数构成。

则有： 向量组$\beta_1,\beta_2,\beta_3$线性相关$\Leftrightarrow |C|≠0$

3.3 证明线性表示

（1）构造方程组，证明方程组有解：$r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)=r(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta)$

（2）找出两个条件 —— 无关组 + 1 变相关，则 + 1 的可被无关组表。$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$无关，$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s,\beta$相关

（3）证 $k≠0$（证明能表出）

（4）反证法 （证明不能表出）

3.4 证明向量组表示、等价等性质

同时解所有方程组，例：$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\ | \ \beta_1,\beta_2,\beta_3)$

二级结论：

1. 多被少表，多必相关
2. 无关被表，个数不多

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4 线性方程组

4.1 方程组同解结论

（基础结论略）

核心：画图！转化成向量组等价思考！

设$A=(\alpha_1^T,\alpha_2^T,...,\alpha_m^T)^T,\ B=(\beta_1^T,\beta_2^T,...,\beta_m^T)^T$（都用行组表示），两方程组$Ax=0,\ Bx=0$，则：
$A$的行组可由$B$的行组线表
$\Leftrightarrow Bx=0$的基础解系可由$Ax=0$的基础解系线表
$\Leftrightarrow Bx=0$的解全是$Ax=0$的解
$\Leftrightarrow r(B)=r(\begin{matrix} A\\B\end{matrix})$
$\Leftrightarrow \exist\ C,\ CB=A$
$\Rightarrow r(A)≤r(B)$

若$r(A)=r(B)$且 其中一个的解均是另一个的解，则两方程组同解。
推论：
（1）$A^TAx=0$与$Ax=0$同解，即左乘转置同解
（2）若$Ax=0$的解均是$Bx=0$的解，则$Ax=0$与$(\begin{matrix} A\\B\end{matrix})x=0$同解
（3）左乘列满秩同解

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5 二次型

5.1 二次型的求法

5.1.1 选填题

根据形如$f=(x_1+ax_2)^2+(bx_2+x_3)^2+(cx_1+x_3)^2$的二次型写出对应的矩阵$A$

（1）通法：直接展开！

（2）快法：按线性变换的形式写出矩阵$B$（不一定可逆），则有$A=B^{\text{T}}B$。例如根据上述$f$的矩阵可得$B=\begin{bmatrix} 1 &a &0 \\ 0 & b & 1\\ c & 0 & 1 \end{bmatrix}$，进一步可得$A$。

5.1.2 解答题

5.1.2.1 拉格朗日配方法

$B\simeq A$

（1）配方：先$x_1$配干净，再$x_2$配干净，以此类推。

（2）令$y1,y2,y3=...$。反写$x_1,x_2,x_3=...$，即$X=CY$，其中必有$|C|=1≠0$。

经过可逆线性变换$X=CY$，二次型化为标准型（系数非特征值），变换前后矩阵合同。

5.1.2.2 正交变换法

$B \simeq A$且$B \sim A$

（1）求$A$的特征值

（2）求$A$的无关特向

（3）正交化、单位化（步骤与正交相似对角化一模一样）

经过正交变换$X=QY$，二次型化为标准型（系数为特征值），变换前后矩阵相似

注：实对称矩阵必然能正交相似对角化，故两个特征值相同的实对称矩阵可以互相正交相似对角化！进一步，两个二次型可以通过正交变换相互转化！

5.1.2.3 合同变换法

超纲

注：所有的变换均为形如$X=□Y$的形式，故必要时需多一步反解操作

5.2 合同的判定

1. 惯性相同：对比正、负惯性指数，即正、负特征值个数
2. 实对称矩阵只能与实对称矩阵合同

5.3 二次型最值

方法：规范形放缩

（1）由正交变换$x=Qy$，得$f=x^\text{T}Ax=y^\text{T}(Q^\text{T}AQ)y=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2$，其中特征值大小关系$\lambda_1≤\lambda_2≤\lambda_3$

（2）放缩可得$\lambda_1y_1^2+\lambda_1y_2^2+\lambda_1y_3^2≤\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2≤\lambda_3y_1^2+\lambda_3y_2^2+\lambda_3y_3^2$，即$\lambda_1y^\text{T}y≤x^\text{T}Ax≤\lambda_3y^\text{T}y$

（3）由$x^\text{T}x=(Qy)^\text{T}(Qy)=y^\text{T}(Q^\text{T}Q)y=y^\text{T}y$，故$\lambda_1x^\text{T}x≤x^\text{T}Ax≤\lambda_3x^\text{T}x$，之后处理$x^\text{T}x$即可（“不妨令……”）

可逆线性变换所得的规范形或标准形同理

5.4 拓展：满秩方阵 AAT 性质总结

$r(A_{m×n})=m,\ AA^T为m×m方阵$
$\Leftrightarrow |AA^T|≠0$
$\Leftrightarrow AA^T 可逆$
$\Leftrightarrow r(AA^T)=r(A)=m$
$\Leftrightarrow AA^T \cong E_{m×m}$
$\Leftrightarrow AA^T 行/列向量无关$
$\Leftrightarrow 齐次AA^Tx=0只有零解$
$\Leftrightarrow 非齐次 AA^Tx=b有唯一解$
$\Leftrightarrow AA^T特征值均不为0$
$\Rightarrow AA^T 可相似对角化$
$\Rightarrow AA^T为实对称矩阵$
$\Leftrightarrow AA^T \simeq E$
$\Leftrightarrow AA^T 正定$