24考研数二高数部分强化、冲刺阶段重要结论合集（存档）
数学基础系列文章：
参考讲义：
- 武忠祥全套
- 880
目录
第1章 函数、极限、连续
1.1 函数基本性质
1.1.1 奇偶性
（1）导函数f'(x)
奇\rightarrow 偶, 偶\rightarrow 奇
（2）变上限积分函数\int_{a}^{x} f(t) \text{d}t（前提：积分收敛）
f(x)奇\Rightarrow \int_{a}^{x} f(t) \text{d}t偶
f(x)偶 \Rightarrow \int_{0}^{x} f(t) \text{d}t奇 (a只能为0)（奇函数F(0)=0）
（3）推广——对称性
f(x+a)=f(x-a) \Leftrightarrow f(x)的图像关于直线x=a对称
f(x+a)=-f(x-a) \Leftrightarrow f(x)的图像关于点(a,f(a))中心对称
1.1.2 周期性
（1）f(x)周期为T \Rightarrow f(ax+b)周期为\frac {T} {|a|}
（2）导函数f'(x)的周期性
f(x)可导. f(x)周期为T \Rightarrow f'(x)周期为T（反之不成立）
（4）变上限积分函数\int_{a}^{x} f(t) \text{d}t的周期性
\int_{a}^{x} f(t) \text{d}t 周期为T \Leftrightarrow \int_{a}^{a+T} f(x) \text{d}x=0
对于x \rightarrow \infin的极限，在周期函数f(x)中可用周期T替换x，从而以去除极限符号
（4）典型周期函数：三角函数
1.1.3 有界性
典型有界函数：|\sin x| ≤1, |\cos x|≤1,|\arcsin x|≤\frac{ \pi } {2},|\arctan x|<\frac{ \pi } {2},|\arccos x| ≤ \pi等
连续函数有界的判定：
（1）闭区连续：f(x) \in C[a,b]\Rightarrow f(x)在[a,b]上有界
（2）开区连续且两端极限存在：f(x) \in C(a,b),且f(a^+),f(b^-)存在\Rightarrow f(x)在(a,b)内有界（可为无穷区间）
（3）根据导函数：f'(x)在有限区间I（无论开闭）上有界\Rightarrow f(x)在I上有界
1.1.4 三角函数性质
三角函数常用公式：
（1）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限（指视x为锐角时\sin(\frac{k\pi}2+x)的符号）
（2）和角公式：sccs、ccss，\cos反
反正弦函数\arcsin x、反余弦函数\arccos x
（1）定义域：[-1,1]
（2）值域：\arcsin x\in[-fracpi2,fracpi2], \arccos x\in[ 0,pi]
（3）常用公式：\arcsin x + \arccos x = \frac\pi2
反正切函数\arctan x、反余切函数\text{arccot} x
（1）定义域：(-\infty,+\infty)
（2）值域：\arctan x\in(-\frac\pi2,\frac\pi2), \text{arccot} x\in( 0,\pi)
（3）常用公式：\text{arccot} x=\arctan\frac1x，\arctan x+\arctan\frac1x=\frac\pi2
1.1.5 其他
取整函数[x]的基本不等式：x-1\lt [x]≤x
反函数：f(x)与其反函数f^{-1}(x)的图像关于直线y=x对称，即f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x
1.2 极限基本性质
（1）局部有界性：若\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)存在,则f(x)在x_0某去心邻域内有界
（2）保号性
极限\Rightarrow函数：前后皆为严格不等号（在去心邻域）
函数\Rightarrow极限：（无论函数是否严格不等号）固定推出不严格不等号
极限 —— ≥≤，积分 —— ><
（3）推论：保序性、绝对值，同上
（4）极限值与无穷小的关系：\lim f(x)=A \Leftrightarrow f(x)=A+\alpha (x)，其中\lim \alpha (x)=0
1.3 求极限方法
1.3.1 麦克劳林公式
（1）f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)
（2）\text{e}^x=1+x+\frac1{2!}x^2+...+\frac1{n!}x^n+o(x^n)
（3）\ln(1+x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3-...+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+o(x^n)
（4）\sin x=x-\frac1{3!}x^3+...+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}+o(x^{2n+1})
（5）\cos x=1-\frac1{2!}x^2+...+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+o(x^{2n})
（6）(1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2+...+\frac{m(m-1)...(m-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)
1.3.2 技巧与理解
（1）对\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A的理解：①x \rightarrow x_0且x≠x_0；②f(x) \rightarrow A或f(x)=A
（2）\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^x=1, \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^\alpha \ln^\beta x = 0 (\alpha>0, \beta任意)
（3）常用不等式：
2ab≤a^2+b^2
\sin x \lt x \lt \tan x ,x \in (0,\frac{\pi}{2})
\frac {x} {1+x} \lt \ln (1+x) \lt x ,x \in [0,+∞)
1+x≤e^x
（4）遇到连乘连除、多重乘方开方，善用对数求导法
（5）复杂函数泰勒技巧：求导后（变简单）泰勒，再积回去（小o直接升阶）
（6）自证等价：等式两端同除，取极限得1
（7）逆用牛莱公式——写回积分：由 \beta(x)-\alpha(x)=\int^{\beta(x)}_{\alpha(x)}\text{d}t，有 [\beta(x)-\alpha(x)]f(x)=\int^{\beta(x)}_{\alpha(x)}f(x)\text{d}t、f(\beta(x))-f({\alpha(x)})=\int^{\beta(x)}_{\alpha(x)}f'(x)\text{d}x，方便后续与相同区间的变限积分合并或其他操作
求特定区间定积分、求解积分方程时亦可用此方法
1.4 无穷小阶的比较
1.4.1 一般函数无穷小阶的比较
（1）两两比较
（2）估阶：分别与x^k比，求$$k$
（3）求导定阶：原阶 = 导阶 + 1
（4）设f(x)在U(0,\delta )连续，当x\rightarrow 0时，$$f(x),g(x)$$分别为m,n阶，则\int_{a}^{g(x)}f(t) \text{d}t为n(m+1)阶
1.4.2 递推数列无穷小阶的比较
设数列{x_n},{y_n}分别由各自的递推关系x_{n+1}=f(x_n),y_{n+1}=g(y_n)定义，且均为n\rightarrow\infty时的无穷小，则
（1）递推数列无穷小判定条件：若\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=a，且|a|≤1，则\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=0。
初步判断阶：
|a|越小，则数列越收敛于0，即数列越高阶（若相等则看系数(“限制条件”)，“限制越紧越收敛”；0）
（2）两两比较——从第n+1项由递推式写开：\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{y_{n+1}}{x_{n+1}}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{g(y_n)}{f(x_n)}=...（分子分母视情况而定），先通过等价无穷小等方法化简极限式，再由结论\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n+1}及对应的函数无穷小比较结论逐一排除错误选项，最终判明大小关系。
1.5 递推定义的数列求极限
两种方法：先证单调有界再求极限 OR 先求极限再证极限为该值
单调有界判定常用不等式：
（1）2ab≤a^2+b^2, \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}≤\frac{a_1+a_2+...+a_n}n (a_1,a_2,...,a_n≥0)
（2）\sin x\lt x\lt \tan x (0\lt x\lt \frac \pi2)
（3）\frac x{1+x}\lt \ln(1+x)\lt x (0\lt x\lt +\infty)
（4）\text{e}^x-1>x (x\gt 0)
有界性（最值）的判定：设{a_n}极限为a，则\exist a_i\gt a \Leftrightarrow有最大值 ，\exist a_i\lt a \Leftrightarrow有最小值（对应函数几何性质）
单调性判定常用方法：
（1）直接相减(x_{n+1}-x_n)、相除(\frac {x_{n+1}}{x_n})比较
（2）设数列{x_n}可由x_1=a,x_{n+1}=f(x_n),x_n\in I确定：
i. 若f(x)在I上单调增，则{x_n}直接由其前两项x_1,x_2决定单调：x_1 ≤ x_2 \Rightarrow {x_n}单调增，x_1 ≥ x_2 \Rightarrow {x_n}单调减
ii. 若f(x)在I上单调减，则{x_n}不单调（此时常先求极限再证明）
1.6 求各种复杂渐近线
（1）极坐标曲线：改写成参数方程
（2）参数方程曲线
特殊法：尽可能反解出t=t(x)，再代入y中直接得直角坐标解析式y=f(x)
通法：根据x的趋势写出t的趋势，然后正常套公式
第2章 一元函数微分学
2.1 导函数的特性
（1）设f(x)在区间I上可导,则其导函数f'(x)在I上不存在第一类间断点
因此可能出现第二类间断点（无穷或震荡），即导函数的单点极限不一定存在（导函数不一定连续）
（2）介值性：f(x)在[a,b]上可导,且f_+'(a)≠f_-'(b)，μ为介于f_+'(a)与f_-'(b)之间的任何值，则至少存在一个\xi \in (a,b),f'(\xi)=μ
i. 推论1 (零点定理)：f(x)在[a,b]上可导,且f_+'(a)f_-'(b)\lt 0，则至少存在一个\xi \in (a,b) ,f'(\xi)=0
ii. 推论2：f(x)在[a,b]上可导，且f'(x)≠0，则在[a,b]上要么恒有f'(x)>0，要么恒有f'(x)<0
（3）只知道单点导数符号无法判定该点邻域内单调性，当导函数连续时则可判定
2.2 可导性的判定
（1）设f(0)=0，则“\lim\limits_{h\rightarrow0} \frac {f(\phi (h))} {\psi (h)}存在\Rightarrow f(x)在点x=0处可导”的充要条件为：
①\phi (h) \rightarrow 0（即\phi (h) \rightarrow 0^+且\phi (h) \rightarrow 0^-）
②\phi (h)与\psi (h)同阶，即\lim\limits_{h\rightarrow0} \frac {f(\phi (h))} {\psi (h)} = \lim\limits_{h\rightarrow0} \frac {f(\phi (h))} {\phi (h)}•\frac {\phi (h)}{\psi (h)},\frac {\phi (h)}{\psi (h)}\rightarrow A≠0
（2）变限积分\int_{a}^{x} f(t) \text{d}t的可导性：被积函数f(x)连续，则一定可导
（3）绝对值函数的可导性：设f(x)=\phi (x)|x-a|，其中\phi(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导\Leftrightarrow \phi(a)=0（即图像在该点与x轴相切）
推论1：x^n|x|在x=0处n阶可导，但n+1阶不可导
推论2：f(x)可导\not\Leftrightarrow |f(x)|可导
推论3：连续函数f(x)在x_0单点可导性的判定——
i. 若f(x_0)≠0，则|f(x)|在x_0处可导\Leftrightarrow f(x)在x_0处可导
ii. 若f(x_0)=0，则|f(x)|在x_0处可导\Leftrightarrow f'(x_0)=0（即在该点曲线平滑）
（4）复合函数的可导性：
- 内外都存在，复合必存在
- 内层不存在，复合可能存在
2.3 求导、导数应用技巧
（1）分段函数分界点求导：
- 导数定义
- 求导代入
- 导函数极限
- 两边函数式分别泰勒展开，比较系数可得左右各阶导数，若相等则说明分界点该阶导数存在
（2）复杂的变限积分函数求导：在积分中泰勒展开（展开至够所求导阶数即可），直接积出来，再直接与通用泰勒公式对比系数即可
（3）隐函数二阶导公式：\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}=\frac{y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t)}{x'^3(t)}（类似导数除法公式，最后勿忘乘x'(t)的反函数/倒数）
（4）对于带绝对值的变限积分，若要讨论极值拐点等性质，可换元将绝对值内换成简单形式，便于后续观察奇偶性等性质，同时也便于化简及进一步处理！
（5）复合抽象函数求导：活用链导法则与导数四则运算法则，用多元偏导的方法求导
【24数二-18题】
x=\text{e}^t \Rightarrow t=\ln x，y=y(x)求导的详细过程：
\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}y}{\text{d}t}•\frac{\text{d}t}{\text{d}x}=\frac1x•\frac{\text{d}y}{\text{d}t}
\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\frac{\text{d}y}{\text{d}x})=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\frac1x)•\frac{\text{d}y}{\text{d}t}+\frac1x•\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\frac{\text{d}y}{\text{d}t})•\frac{\text{d}t}{\text{d}x}=-\frac{1}{x^2}•\frac{\text{d}y}{\text{d}t}+\frac{1}{x^2}•\frac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2}
2.4 导数的一般应用
2.4.1 极值的判定
（1）可能的极值点：驻点（必要条件f'(x_0)=0）、导数不存在的点
（2）充分条件
第一充分条件 —— 单调性：左右邻域f'(x)符号发生变化
第二充分条件 —— 凹凸性：观察曲线凹向
第三充分条件 —— 当f'(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0)≠0时，n为偶数则有极值，此时符号与极大极小的关系同凹凸性；n为奇数则无极值
思路：若
x_0处导数为0，则继续导，直至出现exist n,f^{(n)}(x_0)≠0，再参照极值必要、充分条件原路回溯，得出f(x)在x_0两侧的单调性，继而可判极值
（3）凹凸性、更高阶导性质判定同理。
2.4.2 最值的判定
将区间内的极值与区间端点值（开区间则求极限）比较可得
2.4.3 曲率公式
定义式：
K=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} |\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}|计算式：
（1）曲线由直角坐标方程y=y(x)给出：
K=\frac {|y''|}{(1+y'^2)^{\frac32}}（2）曲线由参数方程\left\{\begin{matrix}x=x(t) \\y=y(t)\end{matrix}\right.给出：
K=\frac {|y''x'-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{\frac32}}曲率半径：R=\frac 1K
【24数二-11题】首考曲率圆方程！注意曲率圆位于曲线“内部”，故通过某定点与曲率半径可得该点的曲率圆心，进而写出顶点式方程
2.4.4 求高阶导数
（1）找规律（适用于简单函数n阶导或复杂函数极低阶单点导）
（2）莱布尼兹公式——设u, v，找非0项
（3）泰勒：展开，再对比系数（积分内泰勒方法见第一章极限部分）
（4）求积分方程形式的隐函数高阶导：等式两边求导，解出f(x)正常形式再选用其他方法求解
2.5 微分中值定理证明题
2.5.1 方程根问题
存在性：
（1）零点定理
（2）罗尔定理：取原函数，代入特殊值
个数：
（1）单调性
（2）奇偶性：偶函数\Rightarrow左右对称，结果为单侧个数×2
（3）方程次数：n次方程\Rightarrow至多有n个实根
（4）罗尔推论：f^{(n)}(x)≠0 \Leftrightarrow原方程有n个根
2.5.2 中值定理大题策略
求变量范围题的建模方法——参变分离
单中值——构造辅助函数F(x)，只需证F'(x)=0：
（1）分析法/还原法
（2）微分方程法（通法）
一阶齐次：解结论对应的微分方程，取通解中核心部分（即常见辅助函数之第3种）
二阶常系齐次（仅供参考）：构造两次辅助函数F(x),G(x)
i. 解得特征根r_1,r_2，取其一构造F(x)=\text{e}^{-r_1x}f(x)【指数取负】
ii. 由上可证f'(ξ)-r_1f(ξ)=0，为了利用该结论，构造G(x)=\text{e}^{-r_2x}[f'(x)-r_1f(x)]，最终可证得原结论
（3）常见的辅助函数（f(x),g(x)可为任意符合定理条件的函数 ）：
证f'(ξ)g(ξ)+g'(ξ)f(ξ)=0：令F(x)=f(x)g(x)
证f'(ξ)g(ξ)-g'(ξ)f(ξ)=0：令F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}
证f'(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0：令F(x)=f(x)\text{e}^{\int_0^x g(t)\text{d}t}
（4）双中值（冲刺135必学，此处只提一下有这两种类型）
不要求ξ≠η：在同一区间[a,b]上用两次中值定理（拉、柯西）
要求ξ≠η：将区间[a,b]分成两个子区间，分别用拉
泰勒略
第3章 一元函数积分学
3.1 原函数的存在性
3.1.1 判定条件
（1）若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上必有原函数
（2）若f(x)在区间I上有第一类间断点，则f(x)在区间I上没有原函数
3.1.2 原函数与变上限积分的关系
f(x)连续\Rightarrow \int_{a}^{x} f(t) \text{d}t为原函数；当有第一类间断点时则该变上限积分不是原函数。
3.2 可积性
3.2.1 必要条件
若\int_{a}^{b} f(x) \text{d}x存在，则f(x)在[a,b]上有界
3.2.2 充分条件
（1）若f(x)在[a,b]上连续，则\int_{a}^{b} f(x) \text{d}x存在
（2）若f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则\int_{a}^{b} f(x) \text{d}x存在
（3）若f(x)在[a,b]上只有有限个第一类间断点，则\int_{a}^{b} f(x) \text{d}x存在
3.3 积分技巧
3.3.1 定义、可爱因子
既能正用也能逆用；注意区间长度；用夹逼验证步长
3.3.2 三角对称性
\int_{0}^{\pi} \sin^n x \text{d}x=2\int_{0}^{\frac \pi 2}\sin^n x \text{d}x\int_{0}^{\pi} \cos^n x \text{d}x=\left\{\begin{matrix} 0, &n为奇数\\ 2\int_{0}^{\frac \pi 2}\cos^n x \text{d}x, &n为偶数 \end{matrix}\right.3.3.3 区间再现
对\int_{a}^{b} f(x) \text{d}x，令a+b-x=t \Rightarrow x=a+b-t
3.3.4 锐角的正余弦轮换
\int_{0}^{\frac \pi 2} f(\sin x, \cos x) \text{d}x=\int_{0}^{\frac \pi 2} f(\cos x,\sin x) \text{d}x （证明：区间再现）
3.3.5 待定系数法
令被积函数\frac □f=\frac{A•f'+B•f}{f}，则A•f'+B•f=□，解出系数即可凑微分
3.3.6 其他扩展技巧
（1）若被积函数分为至少3部分，可先整体凑几部分入d求出原函数，再分部积分剩下的
（2）分部积分前可提前处理d中以及被积函数中的常数，方便后续约分
（3）积分再现，移项
（4）与前式相加再÷2
（5）对于方程，可选择两边在[a,b]上求定积分（适用于二重积分）
3.4 变上限积分的性质
3.4.1 连续性
f(x)在[a,b]上可积\Rightarrow \int_{a}^{x} f(t) \text{d}t in C[a,b]
3.4.2 可导性
前提：F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \text{d}t连续，即f(x)可积
f(x)的连续性与F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \text{d}t的可导性之间的关系如下所示：
（1）f(x)在x_0处连续，则F(x)可导，F'(x_0)=f(x_0)
（2）f(x)在x_0处可去，则F(x)可导，F'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x_0)
（3）f(x)在x_0处跳跃，则F(x)连续但不可导，F_-'(x_0)=f(x_0^-),F'_+(x_0)=f(x_0^+)
3.4.3 奇偶性
（1）f(x)奇 \Rightarrow \int_{a}^{x} f(t) \text{d}t偶
（2）f(x)偶 \Rightarrow \int_{0}^{x} f(t) \text{d}t奇\ (a只能为0)（原因：奇函数F(0)=0）
3.5 反常积分敛散性判定
定义：求f(x)的原函数
3.5.1 p积分
p积分（为方便描述类型，以下规定：p积分——无穷区间型，q积分——无界函数型）
（1）无穷区间\int_{a}^{+\infty} \frac{\text{d}x}{x^p}：\left\{\begin{matrix} p>1, &收敛\\ p≤1, &发散 \end{matrix}\right.
（2）瑕区间\int_{a}^{b} \frac{\text{d}x}{(x-a)^p},\ \int_{a}^{b} \frac{\text{d}x}{(b-x)^p}：\left\{\begin{matrix} q<1, &收敛\\ q≥1, &发散 \end{matrix}\right.
3.5.2 比较判别法
速记结论，一切皆可转化为\int_?^? \frac1{x^\alpha \ln ^\beta x}\text{d}x
（1）只有幂：正常用p,q积分
（2）出现指数：无论是否混搭，指数决定一切
（3）只有对数：参考图像趋势（0^+必收，+∞必散）
（4）幂对混搭：幂指数不为1则无视对数；幂指数为$1$则再看对数，一律用p积分：p>1收敛
积分中及时忽略无关因子，活用等价
常用等价：
x \rightarrow 1,\ln x = \ln(1+x-1) \sim x-1 \sim ...
原理：极限审敛法
3.6 定积分几何应用
常用的面积、体积、弧长公式：
3.6.1 平面图形面积
二重积分通法：
S=\iint\limits_{D}\text{d}\sigma3.6.2 旋转体体积
二重积分通法：
V=\iint\limits_{D}2\pi r(x,y)\text{d}\sigma, r(x,y)=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}X型：
V_x=\int_a^b\pi f^2(x)\text{d}xY型：
V_y=\int_a^b2\pi|xf(x)|\text{d}x通用截面计算式：
V=\int_a^bS_{截面}(x)\text{d}x极坐标图形绕极轴旋转体体积：
V=\int_\alpha^\beta\frac23 \pi r^3(\theta)\sin \theta\text{d}\theta3.6.3 弧长
L:y=f(x),a≤x≤b：
s=\int_a^b\sqrt{1+f'^2(x)}\text{d}xL:x=x(t),y=y(t),a≤t≤b：
s=\int_a^b\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\text{d}tL:r=r(\theta),\alpha≤\theta≤\beta：
s=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}\text{d}\theta3.6.4 侧面积
S=\int_a^b2\pi f(x)\text{d}s3.7 微积分物理应用
通用思路——微元法：取一小段微元求其微小变化，再作积分
3.7.1 质心
（1）细棒的质心：\bar x=\frac{\int_a^bxρ(x)\text{d}x}{\int_a^bρ(x)\text{d}x} （a,b为细棒的两个端点；ρ(x)为线密度函数，即“单位长度上的质量”）
（2）平面图形的质心横坐标：bar x=\frac{\iint\limits_{D}x\text{d}x\text{d}y}{\iint\limits_{D}\text{d}x\text{d}y}
3.7.2 引力
（1）万有引力：F=\frac{km_1m_2}{r^2}（两个物体的质量为m_1,m_2，其之间的距离为r）
（2）点电荷引力：F=\frac{kq_1q_2}{r^2}（将上式中的质量改为电量q_1,q_2即可）
3.7.3 压力
（1）压强（水压）：p=ρgh（h为液体中的深度）
（2）压力：F=p•A（通常考变压，故取一小块规则质体微元求其微小变化再作积分）
3.7.4 变力做功
W=F•l（必要时分而治之，建立不同坐标系计算）
第4章 多元函数微分学
4.1 重极限
4.1.1 基本性质
大体同一元极限（没有洛）
4.1.2 初步判定
看分子分母次数。对于重极限\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)} ，有：
上 > 下 —— 0；上 < 下 —— \infty；上下同次 —— 不存在
4.1.3 夹逼的常用放缩手段
取绝对值：f(x)\rightarrow 0 \Leftrightarrow |f(x)|\rightarrow 0，从而有|f(x)|≥0
常用不等式：
（1）2ab≤a^2+b^2
（2）|x±y|≤|x|+|y|
（3）“不超过1”：\frac {|x|}{|x|+|y|}≤1
4.1.4 证明重极限不存在
（1）取任意方向（如设y=kx，k为任意常数）求得重极限随k而变，即证
（2）取不同路径（如分别取直线y=kx、抛物线x=y^2）求得不同结果，即证
改写成极坐标无法证明重极限不存在
4.2 连续、偏导数、全微分
4.2.1 连续
定义：\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)
（性质与一元函数连续完全对应）
4.2.2 偏导数
定义：
f_x'(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\frac{\text{∂}}{\text{∂}x}f(x,y_0)|_{x=x_0}
f_y'(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta y \rightarrow0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}=\frac{\text{∂}}{\text{∂}y}f(x_0,y)|_{y=y_0}
公式法繁杂时务必转用定义法求偏导
求定点导数或判定定点可导性：先代后求
混合偏导相等条件：混合偏导连续
4.2.3 全微分
4.2.3.1 四条可微判定等价形式
（1）\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B \Delta y+\omicron(ρ)（定义）
（2）\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0,\Delta y \rightarrow 0}\frac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]-[A\Delta x+B \Delta y]}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0
（3）\Delta z=f(x,y)-f(x_0,y_0)=A(x-x_0) x+B (y-y_0)+\omicron(ρ)
（4）\lim\limits_{x \rightarrow x_0,y\rightarrow y_0}\frac{[f(x,y)-f(x_0,y_0)]-[A(x-x_0) x+B (y-y_0)]}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=0
4.2.3.2 必要条件
两个偏导数f_x'(x_0,y_0),f_y'(x_0,y_0)都存在
4.2.3.3 充分条件
两个偏导数f_x'(x_0,y_0),f_y'(x_0,y_0)在(x_0,y_0)连续
4.2.3.4 充要条件——定义
① 两个偏导数f_x'(x_0,y_0),f_y'(x_0,y_0)是否都存在？
② \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0,\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta z-[f_x'(x_0,y_0)\Delta x+f_y'(x_0,y_0) \Delta y]}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}是否为0？
快速判定可微性的充分条件：对于
\lim\limits_{x \rightarrow x_0,y \rightarrow y_0}\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}=a，若a=0则在该点可微，若a≠0则不可微
4.2.3.5 全微分的性质
对可二阶连续偏导的函数z=z(x,y)，已知其全微分\text{d}z=P\text{d}x+Q\text{d}y，则\frac {\text{∂}P}{\text{∂}y}=\frac{\text{∂}Q}{\text{∂}x}。
即俩偏导“互相求对方变量的偏导”，结果相等。原因：满足混合偏导相等的条件——混合偏导连续
4.3 隐函数求导与全微分方程解法
（1）隐函数求导公式
（2）单方程：直接方程两边求导
（3）方程组：
i. 直接方程组两边求导，解n元方程组（必要时用克莱默法则减轻折磨）
ii. 反解无关变量t=t(x,y,z)，代入消元
（4）根据偏导数或全微分方程反解二元函数：
i. 偏积分：对偏导数做对应变量的不定积分，注意将“+C”改为含剩余变量的辅助函数\phi(\cdot)。较为简单且通用
ii. 凑微分：直接将所有偏导凑入\text{d}中形成同样结构，再去除两侧微分号\text{d}即可。或可用于选填
4.4 多元极值与最值
4.4.1 无条件极值
4.4.1.1 定义
极大：f(x_0,y_0)≥f(x,y)
极小：f(x_0,y_0)≤f(x,y)
常用方法：极限的保号性
4.4.1.2 必要条件
若可导，则一阶偏导f'_x(x_0,y_0)=f'_y(x_0,y_0)=0
4.4.1.3 充分条件
设f'_x(x_0,y_0)=f'_y(x_0,y_0)=0，令A=f''_{xx},B=f''_{xy},C=f''_{yy}，则
（1）当AC-B^2>0时，有极值，且A>0 \Rightarrow极小值，A<0 \Rightarrow极大值
（2）当AC-B^2<0时，无极值
（3）当AC-B^2=0时，无法判定（此时一般用定义判定）
4.4.2 条件极值
方程组消元技巧：
基本思路：两式分别乘以合适的式子再相减，尽可能多地消去复杂部分
若两式中x,y具有轮换对称性，则必有x=y
活用各种初等数学技巧！
4.4.3 条件最值
方法：求出区域内部可能的极值点，再与边界上的最大最小值作比较
第5章 二重积分
5.1 二重积分的性质与换序
基本性质：类比一元定积分
交换积分次序通法：反解
极坐标换序方法：往外画层层圆弧分割积分域（r的上下限即为圆弧半径），各子域单独反解出\theta关于r的表达式
5.2 二重积分大题解法
合理选取坐标系、积分次序
常用积分方法：
（1）分割积分域，选取易算的
（2）奇偶性：积分域对称时偶折半、奇归0；若偶函数f'(0)存在则必有f'(0)=0
推广——中心对称：若被积函数关于x,y均为奇函数，且积分域关于原点中心对称，则二重积分为0
（3）轮换对称性（积分域关于直线y=x对称），左右两式相加消去复杂部分
（4）变量代换（区间再现、倒代换、替换多次出现的部分等）
（5）平移（极坐标平移、奇函数平移等）
第6章 常微分方程
6.1 可降阶的微分方程解法（数二专项）
不显含y：令y′=p,y″=p′
不显含x：令y′=p,y″=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}
6.2 微分方程物理应用
变化率问题：将文字表述转化为微分方程
牛顿第二定律：F=ma=m\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=m\frac {\text{d}^2s}{\text{d}t^2}
求最远运动距离s_{\max}：令v=0即可，s_{\max}=s|_{v=0}
混合问题：\text{d}Q=\text{d}Q_1-\text{d}Q_2
《高等数学（数二强化冲刺笔记）》有1条评论